MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y MUCHO MÁS DE MATEMÁTICAS: INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Veamos aqui una ayuda de You Tube para primero aprender identidades trigonometricas y poderlas aplicar a este método.

Si n es impar, podemos evitarnos este largo proceso escribiendo (por ejemplo en el caso del

$\sin (x)$ ):

, y luego usar el cambio de variable

$u=\cos (x)$ . La misma idea rige, por supuesto, para productos del tipo:

en donde al menos uno de los exponentes es impar:

Ejemplo:

Integre:

Solución:

multiplicando nos queda:

separando las integrales

usemos el cambio de variables

derivemos

$du=\cos (x)dx$

Reescribamos:

volvamos a la función dependiendo de

Estrategia para hallar integrales con senos y cosenos:

1.- Si la potencia del

$\sin (x)$ es par o impar, conservar un factor

$\sin (x)$ y pasar los demás a

$\cos (x)$ , desarrollar e integrar.

2.- Si la potencia del

$\cos (x)$ es impar y positiva, conservar un factor

$\cos (x)$ y pasar los demás a

$\sin (x)$ , desarrollar e integrar .

3.- Si las potencias del

$\sin (x)$ y del

$\cos (x)$ son pares y positivas , usar repetidamente las identidades:

para convertir el integrando en uno con potencias impares del

cos (x). A continuación, proceder como en la estrategia

2.

4.- Si los dos exponentes son pares, otro procedimiento a seguir es dejar expresado el producto en términos de una sola función (conviene , por supuesto dejarlo expresado en términos de la función de mayor exponente) y luego usar la correspondiente fórmula de reducción:

Ejemplito:

Notita: Sobre producto de funciones trigonómetricas con exponentes pares

``Si ambos exponentes son pares - como arriba - el proceso puede ser simplificado usando ángulos dobles''

Volvamos al mismo ejemplito:
Escribamos,

Luego:

Usemos en la primera integral

ahora derivando tenemos

Ahora en la segunda integral usemos

$u=\sin (2x)$ ahora derivando tenemos

$du=2\cos (2x)dx$

Entonces

Lo que resulta una expresión algo más simple y compacta que la anterior.

A continuación se verán las integrales del tipo:

Las soluciones de este tipo de integrales se logran aplicando las siguientes fórmulas:

Pero ¿Cómo llego a estas fórmulas?
La respuesta a estas preguntas vienen a continuación:

Vamos a resolver la integral más general:

Primero debemos recordar las siguientes identidades trigonométricas:

Luego al sumar sus términos:

Esto es igual a:

ahora integrando:

Y así para los otros dos tipos de integrales, pero usando las identidades trigonométricas:

Veamos un ejemplo :

Otro ejemplo:

Ahora de la siguiente forma:

;

$n\geq 1$

La integración de estas expresiones es prácticamente inmediata si m es impar o n es par. En ambos casos se usa la identidad trigonómetrica

Estrategia para hallar integrales que contienen secantes y tangentes

1.- Si la potencia de la secante es par y positiva, conservar un factor

$\sec ^{2}(x)$ y pasar los restantes factores a tangentes. A continuación, desarrollar e integrar.

2.- Si la potencia de la tangente es impar y positiva , conservar un factor

$\sec (x)\tan (x)$ y pasar los restantes factores a tangentes. A continuación, desarrollar e integrar.

3.- Si no hay factores secante y la potencia de la tangente es par y positiva, pasar un factor

$\tan ^{2}(x)$ a la forma

$\sec ^{2}(x)$ , desarrollar y repetir el proceso si fuera necesario.

4.- Si la integral es de la forma

, con m impar y positivo, integrar por método de reducción.

5.- Si no se da ninguna de las cuatro circunstancias precedentes, intente convertir el integrando en senos y cosenos.

Veamos un ejemplito:

.

Ahora usemos el siguiente cambio de variables:

$u=\tan (x)$ derivemos

Por lo tanto:

Luego:

Otro ejemplito:

Integre:

Ahora usemos el siguiente cambio de variables:

$u=\sec (x)$ derivamos

de manera que

Luego:

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